Evolution (Mathematik)

De Evolution Φ vo ana Differentiaigleichung is in da Mathematik a zwoaparametrige Owbuidung gem duach:

${\mathrm{\Phi }}^{t,t_0}{x}_0:=x(t)$

wobei x(t) die Läsung vom Ofangsweatproblem x'(t) = f(t,x(t)), $x(t_0)=x_0$ is und $|t-t_0|$ hiireichad kloa sei soi.

Des moant: Die Evolution Φ buidt en Weat vo ana beliabign Läsungskuavn x(t) zun Zeidpunkt $t_0$ afn Weat vi da Läsungskuavn zun Zeidpunkt t ow. Se bschreibt oidfsnn de weidane Entwicklung vo da Läsung ausgehad vom Startpunkt $x_0$.

De Evolution Φ vo da Differentiaigleichung hod folgade Oangschoftn:

• ${\mathrm{\Phi }}^{t_0,t_0}{x}_0=x_0$
• $\frac{d}{d\tau }{\mathrm{\Phi }}^{t+\tau ,t}x{|}_{\tau =0}=f(t,x(t))$
• ${\mathrm{\Phi }}^{t_2,t_1}{\mathrm{\Phi }}^{t_1,t}{x}_0={\mathrm{\Phi }}^{t_2,t}{x}_0$ für $t\le t_1\le t_2$

Im Fall vo autonoman Differentiaigleichunga x'=f(x) is de Startzeid $t_0$ beliabig. Ma schreibt nocha stod ${\mathrm{\Phi }}^{t,t_0}$ oafoch ${\mathrm{\Phi }}^t$ und nennt ${\mathrm{\Phi }}^t$ en Phasnfluss.

Schau aa

• Evolution (Begriffsklearung)