Fixpunktsatz vom Banach

Da Fixpunktsatz vom Banach is a mathematischa Sotz vom Banach Stefan. Ea sogt wos iwa d Existenz und d Oadeitigkeit vo an Fixpunktproblem.

Aggradde Formuliarung

Songma $(M,d)$ is a metrischa Raum, der wos voiständig und ned laar is. Außerdem soi $f:M\to M$ a Kontraktion sa, des hoasst, doss f Lipschitz-stetig is mid Lipschitz-Konstante kleana wej oans, oda in Formeschreibweis:

$(\mathrm{\exists }\vartheta <1)(\mathrm{\forall }x,y\in M):d(f(x),f(y))\le \vartheta d(x,y)$

Nachad hod f aggradd oan Fixpunkt, des hoasst oiso es gitt aggradd oa $x\in M$ mit $f(x)=x.$

Beweis

Existenz vo am Fixpunkt

Um zum beweisn, dass f an Fixpunkt hod, mochtma a sogenannte Fixpunktiteration. Do dazou nimmtmara $x_0\in M$ und definiert eam nacha a Foige ${\left(x_n\right)}_{n\in {\mathbb{N}}_0}$ rekursiv durch

$x_n:=f(x_{n-1})(\mathrm{\forall }n\in \mathbb{N}).$

Mid vollständiga Induktion komma leicht zoang, dass

$d(x_{n+1},x_n)\le {\vartheta }^{n}d(x_1,x_0)(\mathrm{\forall }n\in \mathbb{N}).$

Dann gült fiar $k,l\in \mathbb{N}$:

$d(x_{k+l},x_k)\le \sum _{j=k}^{k+l-1}d(x_{j+1},x_j)\le d(x_1,x_0)\sum _{j=k}^{k+l-1}{\vartheta }^j\le d(x_1,x_0){\vartheta }^k\sum _{j=0}^{\mathrm{\infty }}{\vartheta }^j=d(x_1,x_0)\frac{{\vartheta }^k}{1-\vartheta }.$

De easchte Obschätzung kimmt aus da Dreiecksungleichung, des Isgleich af z'Letzt kimmt vo da geometrischn Reih. Waal ejtza des aaf da rechtn Seitn neama vo l abhängich is und beliabig kloa wern ko, wamma sched s k grous gnou mocht, is de Folge oiso a Cauchy-Foige, und waal M voiständig is, gitz an Grenzweat x vo deara Foige. Des x is ejtzand a Fixpunkt, waal ma zwecks da Stetigkeit vom f song ko:

$f(x)=f\left(\underset{n\to \mathrm{\infty }}{\lim }{x}_n\right)=\underset{n\to \mathrm{\infty }}{\lim }f\left(x_n\right)=\underset{n\to \mathrm{\infty }}{\lim }{x}_{n-1}=x.$

Oadeitigkeit vom Fixpunkt

Ejtz wissma scho, dass an Fixpunkt gitt, owa da Satz sogt ja aa no, dasa oadeitig is. Des zoagtma, indem, das ma sagt, das x und y zwoa Fixpunkt vo f sa soind. Nachad guit owa:

$d(x,y)=d(f(x),f(y))\le \vartheta d(x,y).$

Daduach, doss owa $\vartheta <1$ is, muass $d(x,y)=0$ sa, ergo is $x=y$. Oiso is da Fixpunkt oadeitig und desweng is da Beweis vom Sotz firte.

Literatua

• Hans R. Schwarz, Norbert Köckler: Numerische Mathematik, 5. Aufl., Teubner, Stuttgart 2004, ISBN 3-519-42960-8