Satz vom Vitali

Da Satz vom Vitali is a wichtiche Aussage aas da Maßtheorie. Der sagt nämlich, dass's im ${ℝ}^d$ Mengen gitt, dej wos niat Lebesgue-messbar han. Dej Mengen aas den Beweis hoissd ma Vitali-Mengen. Ma bracht dazou awa s'Auswahlaxiom.

Beweis

An Satz vom Vitali beweist ma mid an Widerspruch. Da dazou definiert ma se a Relation ~ aaf'n ${ℝ}^d$ duach $x\sim y:⟺x-y\in {\mathbb{Q}}^d$. Ma kon lächt zoing, das des a Äquivalenzrelation is. Wecha'm Auswahlaxiom giz ejtzad a Menge V, wau vo ana jedn Äquivalenzklass vo ~ genau oi Element drin is. Wemma ejtz sachat, dass V ${\lambda }^d$-messbar waar, nachernd gawats prinzipiell zwoa Meglichkeitn:

• oimol, dass ${\lambda }^d(V)=0$. Des hoissert awa wecha da σ-Additivität und da Translationsinvarianz vom Lebesgue-Maß, dass

${\lambda }^d({ℝ}^n)={\lambda }^d(\bigcup _{q\in {\mathbb{Q}}^d}(V+q))=\sum _{q\in {\mathbb{Q}}^d}{\lambda }^d(V+q)=\sum _{q\in {\mathbb{Q}}^d}{\lambda }^d\left(V\right)=0$

• ansonstn kannt no ${\lambda }^d(V)\in (0,\mathrm{\infty })$ sa. Nach'n Satz vom Steinhaus gitz a $\delta >0$ aso, dass

$U_{\delta }(0)\subseteq V-V=\{v-w|v,w\in V\}.$

Dementsprechend gitz aa a $y\in {\mathbb{Q}}^d\setminus \{0\}$ mit $y\in U_{\delta }(0)\subseteq V-V$. Des hoissert awa ätz, dass's $v\ne w\in V$ gitt, aso, dass $v-w=y$. Des gait awa niat, waal siest v und w in da glächn Äquivalenzklass saa mejssadnd, also hejchtns ois davo in V saa ko.

Sechdane V hoisst ma wej gsagt Vitali-Mengen.

Literatua

• Herrlich, Horst: Axiom of Choice. Springer-Verlag, 2006, Seite 120.