Taylorpolynom

Taylorpolynome han ganz wichtiche Hülfsmittl in da Analysis, am Teilgebiet vo da Mathematik, waal ma damid a Funktion um an Punkt rundum näherungsweis ausrechnen kann. Se wean voa allen Dingen in de Natuawissnschaftn hergnumma. Eng damid vowandt han Taylorreihen.

Taylor-Formel

Wemma a Funktion $f:J\to ℝ$ hod, de wej $(n+1)$-mol stetig differenzierbar is, wobei $J\subset ℝ$ a Intervall is, nachernd gült fia alle $x,a\in J$:

$f(x)=\sum _{j=0}^n\frac{f^{(j)}(a)}{j!}(x-a{)}^j+R_n(x)$

Do dabaa is da easde Summand as "Taylorpolynom vom Grad n um an Entwicklungspunkt a". Ma kann do dafia aa schreim:

$T_{a,n}f(x)=\sum _{j=0}^n\frac{f^{(j)}(a)}{j!}(x-a{)}^j$

$R_n(x)$ is as Restglied, des wej ma ausrechnan kann als:

$R_n(x)=\underset{a}{\overset{x}{\int }}\frac{(x-t{)}^n}{n!}{f}^{(n+1)}(t)\mathrm{d}t$

Waal eam des Restglied owa oft ned indressiert, z. B. wemma ind da Physik a komplizierte Formel nähern mog, schreibt ma stattdessen einfach mid Hülfe vo de Landau-Symbole:

$f(x)=T_{a,n}f(x)+𝒪(x^{n+1})(x\to a)$

Beweisskizze

Ma beweist den Satz vo Taylor mid vollständiger Induktion iwa n. Da Induktionsofang ($n=0$) is einfach sched da Hauptsatz vo da Differential- und Integralrechnung:

$f(x)=f(a)+\underset{a}{\overset{x}{\int }}{f}^{\prime }(x)\mathrm{d}x$

Im Induktionsschritt ($n\to n+1$) integriert ma partiell über $R_{n+1}(x)$ und stüllt fest, dass dann des Integral wos überbleibt genau as n-te Restglied is und dass se alles Andane zum Taylorpolynom vom Grad n zammaddiert.

Restgliedformeln

Ma ko des Restglied $R_n(x)$ aa no anderster ogem, wej im Satz vo Taylor beschriem, z. B. in da Form vom Lagrange, de wej ohne Integral auskimmt:

$R_n(x)=\frac{f^{(n+1)}(\xi )}{(n+1)!}(x-a{)}^{n+1}$

Do dabaa is $\xi$ a bestimmter Wert zwischn a und x. Ma kanns aa in da Cauchyschn Form ogem:

$R_n(x)=\frac{f^{(n+1)}(\xi )}{n!}(x-\xi {)}^n(x-a)$

Kann hier bitte jemand das auf Deutsch übersetzen?

Mehrdimensionale Taylorpolynome

Wemma a Funktion $f:M\to ℝ$ hod, de wej n-mal stetig differenzierbar is, wobei ejtz $M\subset {ℝ}^n$ offa und konvex is, nachernd kamma mid hülfe von da Multiindexschriebweise as Taylorpolynom vom Grad n um an Entwicklungspunkt a ogem als:

$T_{a,n}f(x)=\sum _{|p|\le n}\frac{D^{p}f(a)}{p!}(x-a{)}^p$

Fia $n=2$ giz a recht einfache Schreibweis, nämlich

$T_{a,2}f(x)=f(a)+⟨Df(a),x-a⟩+\frac{1}{2}⟨x-a,H_f(a)(x-a)⟩,$

wobei Df d'Jakobimatrix vo f, $H_f$ d'Hessematrix vo f und $⟨\cdot ,\cdot ⟩$ as Standardskalarprodukt han.

Beispülla

oadimensional

Songma, $f:ℝ\to ℝ,x\mapsto {\mathrm{e}}^{\sin x}$, wüllma um an Punkt $a=\pi$ bis in de 2. Ordnung entwickln. Do dazou mouma ejtz alle Ableitungan bis zu da 2. ausrechnen.

• $f^{\prime }(x)=\cos (x){\mathrm{e}}^{\sin x}$
• $f^{″}(x)=({\cos }^2(x)-sin(x)){\mathrm{e}}^{\sin x}$

Nacha setztma für x an Entwicklungspunkt $\pi$ ei und kann damid as Taylorpolynom afstülln.

$T_{\pi ,2}f(x)=1-(x-\pi )+\frac{1}{2}(x-\pi {)}^2$

mehrdimensional

Ejtz songma ma wüll $g:{ℝ}^2\to ℝ,(x,y)\mapsto \sin (x)y^2$ um an Punkt $a=(\frac{\pi }{2},1)$ bis zur 2. Ordnung entwickln. Do mouma ejtz aa wieda de ensprecehndn Ableitungan ausrechnen:

• $\frac{\partial }{\partial x}g(x,y)=\cos (x)y^2$
• $\frac{\partial }{\partial y}g(x,y)=2\sin (x)y$
• $\frac{{\partial }^2}{\partial x^2}g(x,y)=-\sin (x)y^2$
• $\frac{{\partial }^2}{\partial x\partial y}g(x,y)=2\cos (x)y$
• $\frac{{\partial }^2}{\partial y^2}g(x,y)=2\sin (x)$

Des hoisst fürs Taylorpolynom:

$T_{(\frac{\pi }{2},1),1}g(x,y)=1+2(y-1)-\frac{1}{2}(y-1{)}^2+{(x-\frac{\pi }{2})}^2$

Literatua

• Otto Forster: Analysis. Band 1: Differential- und Integralrechnung einer Veränderlichen. 8. verbesserte Auflage. Vieweg + Teubner, Wiesbaden 2006, ISBN 3-8348-0088-0 (Vieweg Studium. Grundkurs Mathematik).
• Otto Forster: Analysis. Band 2: Differentialrechnung im Rⁿ. Gewöhnliche Differentialgleichungen. 7. verbesserte Auflage. Vieweg + Teubner, Wiesbaden 2006, ISBN 3-8348-0250-6 (Vieweg Studium. Grundkurs Mathematik).
• Konrad Königsberger: Analysis. Band 2. 3. überarbeitete Auflage. Springer-Verlag, Berlin u. a. 2000, ISBN 3-540-66902-7.